Учебники

Журнал «Квант»

Общие

Кикоин А.К. Теорема, позволяющая решать основные задачи электростатики //Квант. — 1984. — № 12. — С. 18-20.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Содержание

Известно, что электростатическое поле часто изображают при помощи силовых линий. Попытаемся установить связь между числом силовых линий N и зарядом q, создающим электрическое поле. Для этого введем понятие потока электрического поля.

Потоком электрического поля через некоторую поверхность будем называть произведение ES, где S — площадь поверхности, а Е — модуль вектора напряженности электрического поля, перпендикулярного этой поверхности. [1] (Понятие «поток» здесь введено по аналогии с потоком жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы площадью S в единицу времени, который, как известно, равен υS («Физика 8», §65).)

Начнем с простейшего случая — одного точечного заряда. Картина силовых линий поля, созданного положительным точечным зарядом q, изображена на рисунке 1. Рассмотрим сферу радиуса r, центром которой служит сам заряд q, и определим поток электрического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии, выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы, модуль напряженности поля равен

Отсюда видно, что поток через поверхность сферы электрического поля, созданного точечным зарядом, не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда q. Поэтому, если провести ряд концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что и число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым.

Условились число силовых линий, выходящих из заряда, принимать равным потоку электрического поля:

\frac NS\), представляющее собой число силовых линий, пересекающих единицу площади поверхности, перпендикулярной (ортогональной) силовым линиям, называют густотой силовых линий. Ясно, что она характеризует величину напряженности поля в данном месте.

Можно показать, что поток электрического поля, а значит и число силовых линий, равняется \(

\frac<\varepsilon_0>\) не только для поля одного точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности — заряженным телом. Тогда в формуле (3) q означает алгебраическую сумму всей совокупности зарядов. Мало того, если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля, а следовательно и число силовых линий, пересекающих ее, не изменится.

Утверждение, что поток электрического поля и число силовых линий через замкнутую поверхность, внутри которой находится система зарядов, равняется \(

\frac<\varepsilon_0>\), где q — алгебраическая сумма зарядов, называется теоремой Гаусса.

Воспользуемся теоремой Гаусса для решения некоторых конкретных задач электростатики.

Чему равна напряженность электростатического поля внутри проводника?

Известно, что проводник — это такое тело, в котором имеются свободные заряды. Эти заряды действительно свободно могут перемещаться по всему объему проводника. Единственным препятствием для их передвижения служит поверхность проводника, которую они сами покинуть не могут.

Рассмотрим изолированный проводник, которому сообщен электрический заряд. Вокруг такого проводника, конечно, создается электростатическое поле. Докажем, что внутри заряженного проводника электростатическое поле отсутствует, то есть напряженность поля равна нулю.

Как известно, в незаряженном проводнике отрицательный заряд всех электронов точно сбалансирован положительным зарядом всех протонов, и их суммарный заряд равен нулю. Но если проводник заряжен, то баланс зарядов нарушается. В проводнике создается избыток свободных электронов, если он заряжен отрицательно, или избыток протонов (недостаток электронов), если он заряжен положительно. В первом случае, взаимно отталкиваясь, избыточные электроны разойдутся друг от друга на максимально возможные расстояния, вследствие чего они расположатся на поверхности проводника (которую покинуть не могут). Внутри же проводника баланс зарядов восстановится, и там суммарный заряд снова станет равным нулю.

Во втором случае, наоборот, часть электронов с поверхности проводника, вследствие сил притяжения к положительным зарядам, устремится внутрь проводника и сбалансирует избыточные положительные заряды. Суммарный заряд внутри проводника снова станет равным нулю, а избыточный положительный заряд сосредоточится на его поверхности.

Выходит, что заряд любого знака, сообщенный проводнику, располагается на его поверхности. Внутри же проводника, то есть внутри замкнутой поверхности, которой в данном случае служит поверхность самого проводника, заряд ранен нулю (q = 0). Но тогда из теоремы Гаусса следует, что

то есть внутри проводника поля нет.

Как направлены силовые линии у поверхности заряженного проводника?

На любой свободный электрон, находящийся на поверхности заряженного проводника, действуют силы со стороны остальных зарядов поверхности (в объеме проводника сумма положительных и отрицательных зарядов равна нулю). Имея возможность свободно перемещаться по поверхности, электроны сами расположатся так, чтобы результирующая сила, действующая на каждый из них вдоль поверхности, стала равной нулю. Это означает, что проекция напряженности поля на направление касательной к поверхности проводника в любой ее точке равна нулю. А это возможно только при условии, что силовые линии поля направлены перпендикулярно поверхности заряженного проводника (рис. 2).

Какова напряженность поля, созданного заряженной плоскостью?

На рисунке 3 изображен участок заряженной проводящей плоскости с площадью S, на который приходится заряд q.

Мы знаем, что силовые линии поля, созданного этой плоскостью, всюду перпендикулярны к ней. А чему равняется модуль напряженности электрического поля?

Окружим выбранный участок плоскости замкнутой поверхностью, через которую силовые линии проходят под прямым углом к ней. Для плоскости такой поверхностью служит, например, прямоугольный параллелепипед с основаниями, параллельными плоскости. Силовые линии поля перпендикулярны только этим основаниям, остальные четыре грани параллелепипеда параллельны силовым линиям. Площадь обоих оснований равна 2S.

Из теоремы Гаусса следует, что

Эта формула приведена в §45 «Физики 9» без вывода. Из формулы видно, что напряженность поля в любой его точке не зависит от расстояния до заряженной плоскости. Такое поле называют однородным.

Чему равна напряженность поля заряженного проводящего шара?

— заряженный шар создает вокруг себя такое же поле, как точечный заряд, помещенный в центре шара (см. рис. 4).

Источник

Проводники в электрическом поле

Заряды в веществе бывают свободными и связанными. Свободные заряды могут без затраты энергии двигаться по объему тела, участвуют в хаотическом движении и под действием электрических сил преимущественно движутся вдоль электрического поля.

Связанные заряды принадлежат данной молекуле и без больших затрат энергии не могут ее покинуть. В зависимости от концентрации свободных зарядов различают три типа веществ – проводники диэлектрики и полупроводники.

Проводник – вещество с большой концентрацией свободных зарядов. К проводникам относятся все металлы в жидком и твердом состояниях, водные растворы солей и кислот и многие другие вещества.

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или зарядить его, то под действием поля свободные заряды в проводнике придут в движение. Перемещение зарядов продолжается до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника не станет равным нулю. Если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии.

Вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке его поверхности. Если бы существовала касательная составляющая поля, то заряды перемещались бы вдоль поверхности проводника, что противоречило бы равновесному распределению зарядов.

Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника.

Напряженность электростатического поля у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов:

где – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Отсутствие поля внутри проводника означает, что потенциал внутри проводника и во всех точках его поверхности постоянен, т.е. поверхность проводника эквипотенциальна. Соединение заряженного проводника с другим проводником приведет к тому, что заряды между проводниками перераспределяться так, чтобы потенциалы проводников выровнялись. В этом состоит принцип “заземления”, т.е. соединения проводника с Землей: потенциал заземленного проводника будет равен потенциалу Земли.

На больших расстояниях от проводника эквипотенциальные поверхности имеют характерную для точечного заряда форму сферы. По мере приближения к проводнику эквипотенциальные поверхности становятся все более сходными с поверхностью проводника, которая является эквипотенциальной. Вблизи выступов эквипотенциальные поверхности располагаются гуще, значит, и напряженность поля здесь больше. Следовательно, плотность зарядов здесь особенно велика. К этому же выводу можно прийти, учтя, что из-за взаимного отталкивания заряды стремятся расположиться как можно дальше друг от друга.

Плотность зарядов при данном потенциале проводника растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости).

Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный проводник, то свободные заряды (электроны, ионы) будут перемещаться: положительные – по полю, отрицательные – против поля.

На одном конце проводника будет скапливаться избыток положительного заряда, на другом – отрицательного. Эти заряды называются индуцированными. Процесс будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника – перпендикулярными его поверхности.

Нейтральный проводник, внесенный в электрическое поле, разрывает часть линий напряженности; они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией. Индуцированные заряды появляются на проводнике вследствие смещения их под действием поля, т.е. является поверхностной плотностью смещенных зарядов.

Так как в состоянии равновесия заряды внутри проводника отсутствуют, то создание внутри него полости не повлияет на конфигурацию расположения зарядов и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри полости поле будет отсутствовать. Если этот проводник с полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т.е. полость полностью изолирована от влияния внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита – экранирование тел, например электрических приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплошного проводника для защиты может быть использована густая металлическая сетка. При этом поля по обе стороны оболочки не зависят друг от друга.

Полый проводник экранирует поле только внешних зарядов. Если заряды находятся внутри полости, то индуцированные заряды возникнут на внешней и внутренней поверхностях проводника. При этом заряды распределятся так, чтобы результирующее поле зарядов внутри полости и индуцированных зарядов в любой точке в толще проводника было равно нулю. Внутри полости поле не будет равно нулю.

Свойство зарядов располагаться на внешней поверхности проводника используется для устройства электростатических генераторов, предназначенных для накопления больших зарядов и достижения разности потенциалов в несколько миллионов вольт. Электростатические генераторы применяются в высоковольтных ускорителях заряженных частиц, а также в слаботочной высоковольтной технике.

Источник

Оборудование

Наши
партнеры

Наши
услуги

Полезная
информация

Проводящая сфера. Свойства проводника в электрическом поле.

Проводящая сфера.

Напряженность поля внутри заряженного проводника равна нулю.В противном случае на свободные заряды внутри проводника действовала бы электрическая сила, которая вынуждала бы эти заряды двигаться внутри проводника. Это движение, в свою очередь, приводило бы к разогреванию заряженного проводника, чего на самом деле не происходит.

Факт того, что внутри проводника нет электрического поля можно понять и по-другому: если бы оно было то заряженные частицы опять таки двигались бы, причем они бы двигались именно так, чтобы свести это поле к нолю своим собственным полем, т.к. вообще-то двигаться им не хотелось бы, ведь всякая система стремится к равновесию. Рано или поздно все двигавшиеся заряды остановились бы именно в том месте, чтобы поле внутри проводника стало равно нолю.

На поверхности проводника напряжённость электрического поля максимальна. Величина напряжённости электрического поля заряженного шара за его пределами убывает по мере удаления от проводника и рассчитывается по формуле, аналогичной формулам для напряженности поля точечного заряда, в которой расстояния отсчитываются от центра шара.

Так как напряженность поля внутри заряженного проводника равна нулю, то потенциал во всех точках внутри и на поверхности проводника одинаков (только в этом случае разность потенциалов, а значит и напряжённость равна нулю). Потенциал внутри заряженного шара равен потенциалу на поверхности. Потенциал за пределами шара вычисляется по формуле, аналогичной формулам для потенциала точечного заряда, в которой расстояния отсчитываются от центра шара.

Электрическая емкость шара радиуса R:

Если шар окружен диэлектриком, то:

Свойства проводника в электрическом поле

1. Внутри проводника напряженность поля всегда равна нулю.

2. Потенциал внутри проводника во всех точках одинаков и равен потенциалу поверхности
проводника. Когда в задаче говорят, что «проводник заряжен до потенциала … В», то имеют
в виду именно потенциал поверхности.

3. Снаружи от проводника вблизи от его поверхности напряженность поля всегда
перпендикулярна поверхности.

4. Если проводнику сообщить заряд, то он весь распределится по очень тонкому слою вблизи
поверхности проводника (обычно говорят, что весь заряд проводника распределяется на его
поверхности). Это легко объясняется: дело в том, что сообщая заряд телу, мы передаем ему
носители заряда одного знака, т.е. одноименные заряды, которые отталкиваются. А значит
они будут стремиться разбежаться друг от друга на максимальное расстояние из всех
возможных, т.е. скопятся у самых краев проводника. Как следствие, если из проводника
удалить сердцевину, то его электростатические свойства никак не изменятся.

5. Снаружи проводника напряженность поля тем больше, чем кривее поверхность проводника.
Максимальное значение напряженности достигается вблизи остриев и резких изломов
поверхности проводника.

Источник

Проводники в электростатическом поле

При внесении проводника в электрическое поле положительные заряды (ядра) и отрицательные (электроны) разделяются. Это явление получило название электростатической индукции. Появляющиеся заряды в результате этого процесса – индуцированные. Они создают дополнительное электрическое поле.

Направление поля таких зарядов – противоположная сторона относительно внешнего. Заряды, которые накапливаются на концах проводника, способны ослаблять внешнее поле. Их перераспределение идет до тех пор, пока не выполняются условия равновесия зарядов для проводников.

Условия равновесного состояния заряда в проводнике

Чтобы заряд на проводнике был в состоянии равновесия, необходимо:

Истечение заряда с острия

При наличии большего расстояния от проводника, чем его размеры, рисунок линий похож на поле точечного заряда. Эквипотенциальные поверхности имеют форму сферы, как и у точечного заряда. Вблизи выступов эквипотенциальные поверхности располагаются гуще, тогда напряженность поля больше. Отсюда следует, что особенно большая плотность заряда наблюдается на выступах. Напряженность поля на острие может быть настолько велика, что возникает ионизация молекул газа, который окружает проводник.

Ионы газа с противоположным знаком заряда (относительно заряда проводника) притягиваются к проводнику, нейтрализуя его заряд. Ионы с одинаковыми знаками отталкиваются от проводника, причем «тянут» за собой нейтральные молекулы газа. Явление получило название электрического ветра.

Уменьшение заряда проводника происходит в процессе нейтрализации, то есть стекание с острия. Это явление называется стечением заряда с острия.

Электрическое смещение поля в однородном изотропном диэлектрике около заряженного проводника равняется:

Запись формулы напряженности приобретает вид:

Примеры решения задач

Описать поведение линий поля при внесении проводника, не обладающего зарядом в электростатическом поле.

Решение

Если внести нейтральный проводник в электрическое поле, то заряды разделяются на отрицательные и положительные – происходит образование индуцированных зарядов. Их перераспределение начинается с момента выполнения условий о равенстве нулю напряженности внутри проводника и перпендикулярности вектора напряженности поля поверхности проводника.

Положительный точечный заряд создает электростатическое поле. В него вносится шар, являющийся проводником. Какими будут эквипотенциальные поверхности и силовые линии результирующего поля?

Решение

При внесении в поле незаряженного проводящего шара, на нем индуцируются заряды, которые распределяются по поверхности шара так, чтобы внутри него поле равнялось нулю, а линии напряженности перпендикулярны к любой точке шара. На рисунке 2 изображены распределения индуцированных зарядов.

Если силовые линии удалять от заданной системы, то по виду они приближаются к радиальным. Эквипотенциальные поверхности результирующего поля становятся сферами.

Решение

Для определения находящегося внутри выделенной поверхности заряда следует использовать формулу:

Далее нужно совершить подстановку E ∆ S = q ε 0 в q = σ · ∆ S и выразить напряженность поля:

Источник

Электростатическое поле внутри проводника равно нулю если

Вещество, внесенное в электрическое поле, может существенно изменить его. Это связано с тем, что вещество состоит из заряженных частиц. В отсутствие внешнего поля частицы распределяются внутри вещества так, что создаваемое ими электрическое поле в среднем по объемам, включающим большое число атомов или молекул, равно нулю. При наличии внешнего поля происходит перераспределение заряженных частиц, и в веществе возникает собственное электрическое поле. Полное электрическое поле складывается в соответствии с принципом суперпозиции из внешнего поля и внутреннего поля создаваемого заряженными частицами вещества.

Основная особенность проводников – наличие свободных зарядов (электронов), которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника. Типичные проводники – металлы.

Индукционные заряды создают свое собственное поле которое компенсирует внешнее поле во всем объеме проводника: (внутри проводника).

Полное электростатическое поле внутри проводника равно нулю, а потенциалы во всех точках одинаковы и равны потенциалу на поверхности проводника.

Все внутренние области проводника, внесенного в электрическое поле, остаются электронейтральными. Если удалить некоторый объем, выделенный внутри проводника, и образовать пустую полость, то электрическое поле внутри полости будет равно нулю. На этом основана электростатическая защита – чувствительные к электрическому полю приборы для исключения влияния поля помещают в металлические ящики (рис. 1.5.2).

Так как поверхность проводника является эквипотенциальной, силовые линии у поверхности должны быть перпендикулярны к ней.

В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле в нем возникает некоторое перераспределение зарядов, входящих в состав атомов или молекул. В результате такого перераспределения на поверхности диэлектрического образца появляются избыточные нескомпенсированные связанные заряды. Все заряженные частицы, образующие макроскопические связанные заряды, по-прежнему входят в состав своих атомов.

Существует несколько механизмов поляризации диэлектриков. Основными из них являются ориентационная и электронная поляризации. Эти механизмы проявляются главным образом при поляризации газообразных и жидких диэлектриков.

При отсутствии внешнего электрического поля оси молекулярных диполей из-за теплового движения ориентированы хаотично, так что на поверхности диэлектрика и в любом элементе объема электрический заряд в среднем равен нулю.

При внесении диэлектрика во внешнее поле возникает частичная ориентация молекулярных диполей. В результате на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные макроскопические связанные заряды, создающие поле направленное навстречу внешнему полю (рис. 1.5.3).

Поляризация полярных диэлектриков сильно зависит от температуры, так как тепловое движение молекул играет роль дезориентирующего фактора.

Электронный или упругий механизм проявляется при поляризации неполярных диэлектриков, молекулы которых не обладают в отсутствие внешнего поля дипольным моментом. Под действием электрического поля молекулы неполярных диэлектриков деформируются – положительные заряды смещаются в направлении вектора а отрицательные – в противоположном направлении. В результате каждая молекула превращается в электрический диполь, ось которого направлена вдоль внешнего поля. На поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные связанные заряды, создающие свое поле направленное навстречу внешнему полю Так происходит поляризация неполярного диэлектрика (рис. 1.5.4).

Источник