Пьер ферма обнаружил что всякое натуральное число есть треугольное

Пьер ферма обнаружил что всякое натуральное число есть треугольное

Фигурные числа — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб».

Виды фигурных чисел

Различают следующие виды фигурных чисел:

n-е по порядку m-угольное число можно определить как сумму n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна . Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда .

Основная статья: Треугольное число

Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …, , …

Квадратные числа

1	4	9

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n², …

Пятиугольные числа

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …, , …

Шестиугольные числа

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, …, , …

Общий случай

Последовательность k-угольных чисел:

1, k, 3k-3, 6k-8, 10k-15, 15k-24, 21k-35, 28k-48, 36k-63, 45k-80, …, , …

Эквивалентный формат представления n-го элемента: .

Многомерные фигурные числа

Можно определить многомерные фигурные числа, частными случаями которых являются:

где e — число вершин многогранника, f — число его граней, k — число сторон каждой грани, m — число граней, примыкающих к каждой вершине. Примеры: последовательности A006566, A006564, A005900.

где E — число вершин, G — число граней — число многогранных углов вершины. Примеры: последовательности A092182, A092181, A092183.

Исторический очерк

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен,Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение m-угольного числа как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна . Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), установившие ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1637) так называемую «золотую теорему»:

Источник

Учебный проект «Фигурные числа»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ БЕЛОЯРОСКОГО РАЙОНА «ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ (ПОЛНАЯ) ШКОЛА №3г. БЕЛОЯРСКИЙ»

Проект в номинации № 2 (математика)

Панин Илья Игоревич

Научный руководитель проекта:

Товстоног Елена Анатольевна

2013 – 2014 учебный год

1.1. Из истории фигурных чисел

1.2. Формулы плоских фигурных чисел

1.3. Свойства фигурных чисел

1.4. Применение фигурных чисел в жизни человека

ВВЕДЕНИЕ

Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало изучить свойства фигурных чисел и их использование в повседневной жизни.

В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурное число, выявить его свойства и использование в повседневной жизни.

Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.

Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их свойства и применение в жизни человека.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Из истории фигурных чисел.

Фигурные числа — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Понятие фигурного числа было введено древнегреческими математиками, последователями учения Пифагора (пифагорейцами) в VI—IV вв. до н. э.

Рис. 1. Произведение чисел 5 и 4.

Числа, выражающие число точек в квадратной таблице, назывались квадратными. Например, квадратными числами являются 1, 4, 9, 16, 25, 36,…(рис. 2).

Рис. 2. Квадратные числа.

Таблицы могут быть не только прямоугольными или квадратными, но и иметь форму других геометрических фигур. Например, на рисунке 3 изображены треугольные числа, выражающие числа точек в треугольных таблицах.

Рис. 3. Треугольные числа.

Рис. 4. Пятиугольные числа.

Рис. 5. Шестиугольные числа.

Уложив камешки в пространственную фигуру можно получить телесные фигурные числа (рис. 6).

Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Древнегреческие учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.

Рис. 6. Кубическое и квадратное пирамидальное числа.

Формулы плоских фигурных чисел.

Рассматривая ряд, образованный треугольными числами легко заметить, что:

Таблица 1. Зависимость значения треугольного числа от его номера

Источник

из которого следует равенство

Аналогичным образом, рассматривая разбиение четырехмерного куба на четыре гиперпирамиды, можно получить следующее равенство

из которого следует равенство

В общем случае имеет место равенство

которое позволяет находить сумму 1 m + 2 m + … + n m через суммы меньших степеней.

В частности, имеет место формула

Рассмотрим числа, связанные с фигурными числами, образующие равнобедренный треугольник, называемый треугольником Паскаля. По боковым сторонам этого треугольника стоят единицы и всякое число, кроме этих единиц, получается как сумма двух чисел, расположенных над данным числом.

Таблица 1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……………..

Блез Паскаль посвятил этому треугольнику «Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованный в 1653 г. В нем этот треугольник записывался в виде таблицы

Таблица 2
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10
1 4 10
1 5
1

Учитывая, что коэффициент при x k + 1 в последней сумме по определению равен , получаем формулу Сравнивая ее с формулой для чисел треугольника Паскаля, видим, что биномиальные коэффициенты и числа треугольника Паскаля получаются по тому же закону и, следовательно, имеет место равенство = .
Докажем, что для чисел треугольника Паскаля, а значит, и для биномиальных коэффициентов имеет место формула

Это делается непосредственно.

Самостоятельно решите следующие задачи:

1. Сколько нечетных чисел в 256-ой строке треугольника Паскаля?

2. Сколько чисел в 67-ой строке треугольника Паскаля делится на 67?

4. Имеется сеть дорог, изображенная на рисунке. Из точки A выходит 2 1000 человек. Одна половина из них идет направо, а вторая – налево. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется: одна половина идет направо, а вторая – налево. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Сколько человек придет в три крайних слева перекрестка В₁, В₂, В₃ тысячного ряда перекрестков?

5. Докажите, что имеет место равенство

6. Найдите, чему равна сумма

1 4 10 16 19 16 10 4 1

а)

б)

Выясните алгебраический смысл этих чисел. Найдите для них формулы.

6. Определите аналог треугольника Паскаля в пространстве (тетраэдр Паскаля). Выясните его алгебраический смысл. Найдите формулу для его элементов.

1. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. – М.: Наука, 1974.

2. Гарднер М. Математические новеллы. – М.: Мир, 1974.
3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка.- М.: Наука, 1991.
4. Оре О. Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука, 1980.
5. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. – М.: Наука, 1966.
6. Успенский В.А. Треугольник Паскаля. – М.: Наука, 1979.

7. Яглом А.М., Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. – М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1954.

Источник

Проект ««Фигурные числа

Школьная научная конференция молодых исследователей

Направление : МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ.

Автор: Новиков Павел

МОУ СОШ №44 6 д класс

Пономарева Надежда Викторовна

учитель математики МОУ СОШ №44

ВВЕДЕНИЕ

В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Мне стало интересно, а знают ли другие школьники о фигурных числах. Поэтому я провёл анкету, на вопросы которой ответили 86 учеников 6-10 классов.

Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурное число и выявить его роль в нашей жизни.

Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.

Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их применение в жизни человека.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.1. Из истории фигурных чисел.

«Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине грек не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была равноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома» роднило её с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Итак, пифагорейские числа в современной терминологии – это натуральные числа». [2, с.117]

Давным – давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д.

Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это развитие счёта на камушках. Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В 5-4 веках до нашей эры учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

Увлеклись, причём независимо друг от друга, нахождением таких чисел Блез Паскаль и Пьер Ферма.

1.2. Определение и виды фигурных чисел.

Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию.

Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3).

Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2∙2∙2).

Треугольные числа (3, 6, 10).

Квадратные числа (4,9,16).

Пятиугольные числа (5, 12, 22)

Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125. и так далее.
Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»?

1.3. Применение фигурных чисел в жизни человека.

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.

При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.

Упаковка конфет в форме линейного числа

На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 1)

Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (Приложение 2)

Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (Приложение 3)

Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Приложение 4)

Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)

К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог работы, пришёл к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны, как солнце, воздух и вода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
— М.: Мнемозина, 2008.

Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты.
– М.: Просвещение, 1993.

Энциклопедический словарь юного математика/ Составитель А.П.Савин.
– М.: Педагогика, 1985

Источник