Ребро sa пирамиды sabc перпендикулярно плоскости основания abc докажите что плоскость проходящая

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Ребро sa пирамиды sabc перпендикулярно плоскости основания abc докажите что плоскость проходящая

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 2. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна SA

б) Найдите угол между плоскостями и SBC.

а) Построим прямую MN параллельно CB и KP параллельно CB, Плоскость NMP параллельна BC и содержит NK, таким образом NMP искомая плоскость α. По теореме о пропорциональных отрезках имеем: Таким образом, PM параллельна SA, значит, SA параллельна α.

Тогда искомый угол

Ответ:

Аналоги к заданию № 541379: 541823 Все

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.

а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

а) Пусть M — середина ребра AB, N — середина отрезка В равнобедренных треугольниках ASB и PSQ медианы SM и SN являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки S, M и N лежат на одной прямой. Треугольник PCQ равнобедренный, так как треугольники PAC и QBC равны, а значит, PC = В треугольниках ABC и PCQ высотами служат отрезки CM и CN соответственно. Из того, что отрезок PQ перпендикулярен отрезку SN и отрезку CN следует, что прямая PQ перпендикулярна плоскости SNC, но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые PQ и SC перпендикулярны.

б) Из решения предыдущего пункта видно, что плоскость NSC перпендикулярна плоскостям ABC и PCQ, а потому искомый.

Найдём стороны треугольника

Ясно, что и

В треугольнике SBC имеем:

Из треугольника SCQ по теореме косинусов находим

Следовательно,

Из треугольника MCN по теореме косинусов находим

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 6, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.

а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

а) Пусть M — середина ребра AB, N — середина отрезка В равнобедренных треугольниках ASB и PSQ медианы SM и SN являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки S, M и N лежат на одной прямой. Треугольник PCQ равнобедренный, так как треугольники PAC и QBC равны, а значит, PC = В треугольниках ABC и PCQ высотами служат отрезки CM и CN соответственно. Из того, что отрезок PQ перпендикулярен отрезку SN и отрезку CN следует, что прямая PQ перпендикулярна плоскости SNC, но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые PQ и SC перпендикулярны.

б) Из решения предыдущего пункта видно, что плоскость NSC перпендикулярна плоскостям ABC и PCQ, а потому искомый.

Найдём стороны треугольника

Ясно, что и

В треугольнике SBC имеем:

Из треугольника SCQ по теореме косинусов находим

Следовательно,

Из треугольника MCN по теореме косинусов находим

Ответ:

Аналоги к заданию № 518912: 518959 Все

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Через вершину А параллельно BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 3 : 2, считая от вершины S.

а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок SO в отношении 3 : 1, где О — центр основания.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.

а) Назовем точки пересечения плоскости сечения с боковыми ребрами пирамиды: M с SB, K с SC, N с SD. Отрезок MN пересекает SBD и, следовательно, прямая MN параллельна BD. Прямая SO пересекает плоскость SBD, поэтому точка, в которой SO пересекает плоскость сечения, это точка в которой прямая SO пересекает прямую MN. Назовем эту точку L.

Рассмотрим плоскость SAC, заметим, что Проведем из точки K отрезок KP параллельный прямой AC. Имеем: прямые KP и SO пересекаются в точке R. Тогда из подобия треугольников SPK и SAC находим: то есть треугольники KRL и AOL подобны с коэффициентом подобия Следовательно,

Это доказывает, что SL : LO = 3 : 1.

б) Так как плоскости ABCD и AMKN пересечены плоскостью SBD по двум параллельным прямым BD и MN, эти прямые параллельны ребру двугранного угла, образованного этими плоскостями. Прямая AC перпендикулярна прямой BD, прямая AK перпендикулярна прямой MN по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, искомый угол равен углу CAK. Пусть K’ — проекция точки K на прямую AC, тогда

Таким образом,

Ответ: б)

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC и SA, пополам.

б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если AB = AC = 5,

а) Пусть AH — искомая высота. Проведем SK, Проведем AK. Поскольку T и N — середины AC и AB соответственно, то TN — средняя линия треугольника ABC. Тогда TN делит AK на две равные части. Поэтому MF — средняя линия треугольника SKA, она делит AH на две равные части.

б) Поскольку AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Имеем SC = SB, следовательно, треугольник SCB тоже равнобедренный. Зная, что SA ⊥ (ABC), имеем SA ⊥ AB. Тогда треугольники SAC и SAB равны по двум сторонам и углу между ними.

Так как AC = AB, AH ⊥ (CBS), следовательно, HC ⊥ AH, AH ⊥ HB, тогда HC = HB. Значит, точка H принадлежит серединному перпендикуляру к CB, то есть SK, так как SK — медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника. Тогда AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK =

Поскольку SA ⊥ (ABC), SA ⊥ AK. Тогда по теореме Пифагора SK = 5. Имеем то есть SH = 1, следовательно, из треугольника SAH по теореме Пифагора AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.

В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами AB = AC = 5 и BC = 6. Ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды, если известно, что отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к ребру SA равно 2/7.

Очевидно, высота основания AH равна откуда где x — длина

Как известно, где r — радиус вписанной сферы, V — объем тетраэдра, S — площадь его поверхности, откуда

(других корней нет из-за монотонности левой части).

Ответ:

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со стороной АВ = 4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды. Плоскость α, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает ребро SA в точке М, причем SM : MA = 1 : 2.

а) Докажите, что SA перпендикулярно α.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.

а) Достроим пирамиду до куба Тогда указанная плоскость — это плоскость которая перпендикулярна главной диагонали куба.

б) Очевидно в сечении лежат точки пересечения линий SD и а также и Назовем из и Тогда сечение — четырехугольник с перпендикулярными диагоналями (поскольку и ). Тогда

Ответ: б)

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N — середина ребра SC, точка L — середина ребра SA.

а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите угол между плоскостями BNL и АВС, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен

а) Проведем LN — среднюю линию треугольника SAC. Она является линией пересечения плоскости SAC и сечения BLN. Пусть O — точка пересечения диагоналей основания, пусть LN пересекает SO в точке M (оба отрезка лежат в плоскости SAC), и пусть BM пересекает SD в точке K (оба отрезка лежат в плоскости SBD). Тогда отрезок BM лежит в плоскости BLN и, следовательно, K — точка пересечения плоскости BLN с ребром SD. Заметим, что O — середина диагонали BD, а M — середина отрезка SO. Запишем теорему Менелая для треугольника SOD и прямой BK:

б) Так как пирамида правильная, SO — ее высота. Угол между боковым ребром и основанием равен углу SBO, Пусть OB = 5x, тогда Запишем теорему Пифагора для треугольника SBO:

Тогда

Прямая OB — проекция прямой MB на плоскость ABCD. Прямые OB и AC перпендикулярны, прямые LN и AC параллельны, поэтому прямые MB и LN перпендикулярны. Обе прямые OB и MB перпендикулярны линии пересечения плоскостей BLN и ABC. Следовательно, угол MBO — линейный угол двугранного угла между плоскостями BLN и ABC и равен искомому. Найдем

откуда искомый угол равен

Ответ: б)

Приведем решение пункта б) Татьяны Шевелевой.

Прямая OB — проекция прямой MB на плоскость ABCD. Прямые OB и AC перпендикулярны, прямые LN и AC параллельны, поэтому прямые MB и LN перпендикулярны. Обе прямые OB и MB перпендикулярны линии пересечения плоскостей BLN и ABC. Следовательно, угол MBO — линейный угол двугранного угла между плоскостями BLN и ABC и равен искомому.

По доказанному в пункте а) следовательно,

откуда искомый угол равен

Плоскость пересекает боковые ребра SA и SB треугольной пирамиды SABC в точках K и L соответственно и делит объем пирамиды пополам

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если SK : SA = 2 : 3, SL : SB = 4 : 5.

б) В каком отношении эта плоскость делит медиану SN грани SBC?

а) Проведем для начала плоскость KLC и докажем, что В самом деле,

Поэтому плоскость сечения проходит выше и делит ребро SC. Обозначим точку пересечения плоскости с ребром SC за N. Тогда

откуда

Теперь построить плоскость легко. Отмечаем на ребре SC точку N, делящую его в отношении и проводим отрезки KL, LN, NK. Треугольник KLN — искомое сечение.

б) Отметим в плоскости SBC точки пересечения прямой LN с прямыми BC (точка T) и SM — медианой грани (точка O).

По теореме Менелая для треугольника BSC и прямой LNT имеем откуда и поэтому

По теореме Менелая для треугольника MSC и прямой ONT имеем: откуда

Ответ:

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

а) Прямая MN — средняя линия треугольника Пусть отрезок SE пересекает MN в точке K, тогда Пусть K’ — проекция точки K на плоскость ABC, а O — центр основания (проекция точки S), тогда K’ лежит на OE, то есть на медиане CE. Кроме того, точка K’ принадлежит сечению α. Заметим, что так как то по теореме Фалеса При этом, как медиана. Таким образом,

б) Так как прямая MN параллельна прямой AB, плоскость α пересекает плоскость ABC по прямой RP, параллельной прямой AB, то есть сечение является трапецией. При этом, так как треугольники AMR и BNP равны, то то есть трапеция равнобедренная. По доказанному, Пусть γ — угол при основании боковой грани пирамиды. Тогда По теореме косинусов,

Следовательно,

Таким образом,

Приведём другое решение.

Имеем: Пусть и — проекции M и N на ABC. Далее, SH — высота, прямые SH и параллельны друг другу. Значит, перпендикулярна ABC. Прямая пересекает прямые AC и BC в точках P и Q соответственно. Плоскость PMNQ — искомое сечение. Пусть CK — медиана треугольника ABC, точка H — точка пересечения медиан треугольника ACB. Следовательно, CH : HK = 2 : 1, — средняя линия треугольника AHB, HT = TK. Значит,

б) Имеем: треугольники PCQ и ACB подобны с (из пункта а). Следовательно, Следовательно, по теореме косинусов:

Следовательно,

Ответ: б)

Источник

• ← Поделки своими руками для гаража и авто видео
• белая русь агрокомплекс хотляны →